女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

对在英格兰切德沃斯的罗马别墅发现的罗马路面马赛克上的回文装饰图案进行了几何分析。分析表明，由四条闭合曲线组成的错综复杂的卐字记号回文图案可以很容易地用一个非常简单的假设算法构建出来。该算法也解释了遍布罗马帝国的罗马卐字的设计。这些图案与安哥拉的sona传统艺术以及南印度泰米尔的kolam传统艺术有着密切的联系。所描述的分析和算法可应用于几何镶嵌图案的分类、新图案的设计以及被时间破坏的部分镶嵌图案的重建。

1. 简介

(资料图片)

英国最令人印象深刻的罗马别墅之一是格洛斯特郡的切德沃斯别墅。对别墅的详细描述，它的发现历史，以及有用的参考资料已由P. Bethel编译，并由The National Trust[3]出版。自发现以来，几幅未被发现的几何马赛克已经部分修复。最迷人的马赛克，发现在餐厅，包含一个复杂的卐字回文图案，如图1所示。

图1：切德沃斯的几何马赛克

如图1所示的卐字记号回文图案常见于古罗马和希腊马赛克图案(以及中国装饰[31])，为区域的“二维”装饰和“一维”饰带或条纹图案提供了设计技巧[2]、[5-8]、[13-15]、[19]、[23]、[29]。然而，对罗马和希腊马赛克的学术研究明显忽略了对这些几何图案的几何分析，并倾向于主要关注马赛克涉及植物或人物的那些方面，以得出关于创造这些设计的社会的传统和愿望的结论[7]、[15]、[21]。值得注意的例外是菲利普斯关于罗马马赛克迷宫拓扑结构的研究工作[24]，以及史密斯[26]和萨顿[27]的几何分析。在本文中，我们打破这一传统，对罗马时期英国最迷人的几何镶嵌画之一进行了几何分析。分析显示，在切德沃斯马赛克上发现的错综复杂的卐字记号的回文图案，由四条闭合的曲线组成，可以用一种非常简单的假设算法很容易地构建出来。该算法还解释了遍布罗马帝国的罗马和希腊卐字的设计。这些卐字与安哥拉的sona传统艺术以及南印度泰米尔的kolam传统艺术有着密切的联系。之前，Gerdes [10]提供了一份sona图纸与古埃及、美索不达米亚、瓦努阿图群岛和凯尔特结设计的综合比较分析。我们现在可以把希腊和罗马的马赛克添加到曲线族中。下文描述的分析和算法可应用于现有几何镶嵌图案的分类[19]，[30]新图案的设计[18]，以及被战争或地震部分破坏的镶嵌图案的重建。

2 Lewis F. Day书中的罗马人行道

1903年Lewis F. Day出版了一本关于图案设计的精彩书籍[6]。他书中描述的技术，以及书中散布的智慧，和100年前一样适用于今天。在第17章，标题为“不严格重复的图案”，我们发现他的图250与当前的讨论最相关，并复制在图2中。Lewis F. Day对这一设计有如下看法。

“罗马的路面模式可以被描述为由一个非常宽的边界和一个非常小的面板组成。但它同样可以被看作是一个重复几何图案，在一些地方聚集在一起，并在边缘完成，结果，更多的是偶然而不是预定的目的，在一个有宽边界的中央面板上，在它内部又包围了更小的空间。”

不幸的是，Lewis F. Day对这个错综复杂的设计没有更多的话要说，甚至没有指出这个图案来自哪里。他简单地将其描述为罗马路面图案。然而，通过比较图1和图2中的两种图案，在缺乏其他知识的情况下，这两种图案似乎是相同的。使用“出现”这个词是有根据的，因为不幸的是，图1中真正的马赛克缺失了一大部分。

图2：Lewis F. Day书中的罗马路面设计[6]。

一个自然产生的问题是，Lewis F. Day是否重建了图1中明显缺失的部分，如果没有，他是否从其他地方获取或推断了该图案？要回答这个问题，有助于区分面板的集合，或Lewis F. Day称之为“空间”，以及在这些空间之间导航的卐字记号回文图案。图3展示了图案中面板的排列。有三种类型的面板：中间的一个大正方形，大正方形的上、下、右和左的四个矩形，以及排列在四组中的二十个小正方形，每组五个，位于整个区域的每个角落。

图3：Lewis Day图形中面板的排列。

离切德沃斯不远的伍德彻斯特还有一座罗马别墅，因一幅名为《俄耳甫斯与野兽》的马赛克而闻名，因此简称为《俄耳甫斯马赛克》。这是一幅相当大的镶嵌画，大约14平方米。它由一个巨大的圆形面板组成，中间描绘了各种动物。这个中心面板被一组几何图案包围着。有趣的是，有四个几何图案，每个角一个，它们由完全相同的面板排列组成，如图3所示。此外，在两个截然相反的角落里的卐字记号回文图案与Lewis Day的书中的回文图案完全相同(图2)。另外两个角包含回文图案，它们是图2中图案的镜像。换句话说，在两个角上，卐字记号以顺时针方向打开，在另外两个角上，它们以逆时针方向打开。然而，伍德切斯特镶嵌画中嵌板内部的图案不同于切德沃斯镶嵌画中的图案，而且比切德沃斯镶嵌画中的图案更简单。此外，由于图1和图2中嵌板内部的图案是相同的，因此仅基于这一知识就可以得出结论，图2的卐字记号回文图案是与图3的嵌板排列一起使用的某种标准图案，并且Lewis Day的书中的图案旨在描绘Chedworth马赛克。最有可能的是，Lewis Day通过观察伍德彻斯特镶嵌画中完整的图案,“重建”了切德沃斯镶嵌画中卐字记号回文图案的缺失部分。

3.面板上的图案

切德沃斯镶嵌图中的三种嵌板包含四种不同的图案，如图4所示。最左边的图像位于切德沃斯马赛克的中心。它是由无处不在的所罗门结[7]组成，由红色和绿色的两股互锁的绳子组成，叠加在蓝色的顺时针弯曲的卐字记号图案上。所罗门结可以追溯到遥远的过去，在世界各地的许多文化中找到。例如，它出现在尼加拉瓜的古代石刻上[32]，安哥拉东部的古代岩石雕刻上[12]，非洲的Hausa刺绣上[1]，以及法国Noirlac的十二世纪教堂的grisaille玻璃制品上[33]。该图案由左起第二个图案包围，为三股扭索花纹。为了便于观察，图4中的每条线都涂上了不同的颜色。三股扭索饰也被用于许多传统艺术。它不仅经常出现在希腊和罗马的镶嵌画中[7][15]，也出现在传统的波斯和凯尔特的编织物中[1]。Chedworth马赛克中的20个小正方形面板都包含相同的图案，如图4中左起第三个图案所示。它由红色、蓝色和绿色的三条线组成。这种三股结经常在罗马马赛克中用来装饰正方形区域。例如，在伍德彻斯特发现的俄耳甫斯马赛克[7]的四个角上，它被用在大的方形中央嵌板上。最后，图4中最右边的图案包含在Chedworth马赛克的四个矩形面板中。对这种图案(蓝色)的研究表明，它由一条封闭的曲线组成。

图4：切德沃斯镶嵌面板中包含的四种图案。

4.罗马马赛克、Sona绘画和Kolam图案之间的联系

来自世界遥远地方的几种文化享受着传统的视觉艺术实践，这些实践通过一条共同的线索将它们结合在一起：使用满足某些几何特性的回文的循环几何曲线[22]。这些实践中最突出的是非洲安哥拉的sona绘画传统[12]，以及印度南部泰米尔文化的kolam艺术作品[9]。一幅典型的sona (kolam)画由一条或多条曲线组成，这些曲线围绕着一组事先以高度对称的方式排列的点。在绘制每条闭合曲线的过程中，所使用的笔或其他工具(在沙画的情况下用手指画)不得离开纸张，并且不得重复已经绘制的线。此外，这种交叉通常是直角，或几乎如此。对于某些绘图，绘制了多条曲线，但最理想的绘图通常由一条曲线组成。由一条曲线组成的图形称为单线性[17]，而由几条曲线组成的图形称为多线性[12]。如图4所示，当图纸在其交叉处包含上下信息时，它们在纽结理论中被称为纽结图，如果它们是单线的，则被称为纽结[28]。sona绘图的另一个常见要求是，当一个绘图完成时，每个有界区域的内部必须恰好包含一个点。对于给定的一组固定点，满足这些约束的许多拓扑不同的sona图是可能的。例如，图5示出了在同一组五个点上的三个这样的单线拓扑不同的sona图。值得注意的是，术语“sona”图纸是在更一般的几何意义上使用的，而不是在更严格的文化意义上。因此，图5中的第三幅图是传统的sona图，但前两幅不是。最左边的图画是Liu [16]的图1中出现的图画的平滑全等改编。然而，它们都是几何sona图。与切德沃斯镶嵌图案更相关的是，这5个点也承认有两条曲线的(几何)sona图，如图6所示。

图5：三张拓扑结构不同的sona图，5个点排列相同。

图6：在5个点的相同排列上绘制的双链(红色和绿色)sona。

图6中的双线sona与图4中的双线所罗门结之间的相似性是明显的。所罗门结没有在sona图中出现的点，sona图不具有构成所罗门结的线的上下三维方面。除此之外，两条曲线具有相同的结构。然而，sona图和罗马马赛克曲线形图案之间的关系甚至比这更密切。尽管刘易斯·戴(Lewis Day)绘制的切德沃斯马赛克将20个小正方形面板中的设计描述为只有3股绳结，但检查图1中的照片显示，这些绳实际上像sona图中那样围绕着一组点回文而行。这些白色的点在图7所示的切德沃斯马赛克的细节放大图中清晰可见。此外，一些用于纺织品的非洲设计包含sona图纸，具有与罗马马赛克曲线形图案和凯尔特结相同的上下特性。Zaslavsky[34]用照片记录了几个这样的例子：图8.4(来自尼日利亚的约鲁巴雕刻葫芦)，图10.6和14.7(来自扎伊尔的库巴刺绣拉非亚布)，图17.1(来自尼日利亚的约鲁巴珠靴)。此外，图14.7中的示例包含在切德沃斯马赛克的小正方形面板中发现的三股曲线的两个副本。

图7：切德沃斯马赛克的细节，显示曲线形图案中的白点。

包含在小方形面板中的20个回文图案由3股绳结组成，绕着规则的3 × 3网格中的13个点回文而行。此模式的sona版本(没有上下方面)显示在图8的左侧图中，使用三种颜色来区分三条线。

在13点承认的极其大量的可能的sona绘画中，人们可能会想知道罗马人是如何得出这种特殊的和最受欢迎的图案的。答案可能是一个简单的算法，如图8的右图所示。首先构建一个包围所有点的正方形，使正方形和点之间的距离是两个水平相邻点之间距离的一半。现在想象这个正方形要么是台球桌，要么是由镜子组成的。要构建蓝色曲线，让一个台球(或镜子中的光束)从正方形上的一个点开始以45度角滚动，该点位于最左上角的点上方。然后沿着球的路径走，直到它回到起点，记住(像光一样)每当球碰到正方形的边缘，它就会以45度角反弹(或反射)，从而转过90度角。为了描绘出剩余的曲线，从包含在点的顶行中的点的正上方的所有点开始重复这个过程。Gerdes描述了生成这类sona图的程序，出于显而易见的原因，他称之为镜像曲线[12]。在本书中，Gerdes追溯了这些算法的起源，追溯到非洲和世界其他许多地方的实践，即通过在矩形的边上以45度角折叠绳股来编织矩形垫子。一旦获得了最终的图案(图8，右)，去除反射正方形，可以平滑三个曲线的拐角，并且可以应用上下图案以获得图7中的图案。在他1999年的著作《来自非洲的几何学》中，Gerdes给出了关于镜像曲线的更一般概念的更多细节[11]。

图8：在一个3x 3的正方形中，围绕着规则间隔的点的三股回文图案。

包含在切德沃斯镶嵌图的四个矩形面板中的图4中最右边的图案(在图7中也可见)可以用相同的算法构建，如图9所示。然而，在这种情况下，只需要一条曲线，因为当一条曲线开始时，它继续从边界反射，直到它在返回到起始点之前完成整个绘图(因此只有一种颜色)。发生这种情况是因为外部矩形的尺寸为3x8，这两个数字都是质数。

图9：在一个3x8的矩形中规则间隔的点周围的单线回文图案。

5.解读卐字记号回文图案

现在让我们转而分析切德沃斯镶嵌画中最复杂、最迷人的图案：缠绕在嵌板之间整个空间的直线型卐字记号回文图案。该图案可以被视为使用8乘8的正方形虚拟棋盘作为底层向导来构建的。在棋盘的每一行和每一列都有4个卐字记号图案，总共有32个。这32个卐字记号由回文的直线连接起来。出现的第一个问题是：有多少闭合曲线组成这个图案？对不同颜色的曲线的简单描绘揭示了该图案由4条不同的闭合曲线组成，如图10所示。它们被染成蓝色、红色、绿色和黑色。黑色曲线停留在图的中心附近，紧紧围绕着大的中央方形面板。蓝色曲线连接图形的四个外角和中心。红色和绿色曲线连接外部正方形边的中心。为了更清楚地了解每条曲线如何回文穿过面板之间的空间，图11中单独显示了每条曲线。

图10：组成卐字记号回文图案的四条曲线。

图11：组成卐字记号回文图案的四条单线曲线。

卐字记号的回文图案提出了其他问题，关于在这个和其他类似的遍布罗马帝国的路面马赛克中的一般罗马设计原则。例如，这个设计中的所有卐字符号都是以顺时针旋转的方式打开的。显而易见，它们都可以以逆时针方式打开，因为人们只需翻转图案以获得其镜像。事实上，正如前面所指出的，这种逆时针形式的图案在伍德彻斯特的俄耳甫斯马赛克中非常明显。更有趣的问题是，是否有可能出现一种设计，其中一些卐字记号以顺时针方向打开，而另一些以逆时针方向打开。这个问题的答案是肯定的。事实上，对于24个卐字记号中的每一个，我们都可以先验地选择其所需的方向，然后构建一个实现所有这些选择的回文图案。为了回答这个问题和其他问题，我们在下面列出了一个简单的算法来构建切德沃斯回文图案，我们假设切德沃斯和其他地方的罗马设计师使用了这个算法。该算法的开始与我们已经用来构建图8中的图案的算法相同。像以前一样，我们构建围绕整个图案的正方形，这些正方形充当反射镜或充当台球桌的边缘(参见图12，注意有两个正方形，较大的一个用于两条外部曲线，较小的一个用于内部曲线)。25个小正方形面板将扮演曲线回文环绕的点的角色。现在的区别是，中间的大正方形面板，以及围绕它的四个矩形面板，也充当台球的反射镜或反弹边缘。为了开始我们的构造，我们画了四条纯反射曲线，如图12所示。以转角访问曲线为例。和以前一样，我们从顶行最左边的正方形面板上方的一个点开始沿东南方向以45度角追踪曲线。每当台球碰到外面的正方形或其中一个白色面板时，它就会以45度角反射，直到它回到起始位置。类似的过程用于生成另外两条曲线。最后，内部的黑色曲线是从一个矩形白色面板的内侧中点开始生成的。

我们算法的第一部分之前已经在Gerdes的工作[10]中被建议用于sona图的构造。这也是Bain [1]和Meehan [20]在书中阐述的构建凯尔特结的基本设计原则，Schlatter [25]在更一般的数学背景下对其进行了分析。

图12：构建Chedworth的卐字记号回文图案的算法。

通过比较图12和10，读者将会注意到，图12中两条回文曲线之间的每个交叉点对应于图10中包含卐字图案的位置。为了完成设计，将图12中的图案转换成图10中的图案所需的剩余步骤很简单。请注意，图12中使用的所有线条的对角线方向都是45度。为了解决这个问题，我们对图形进行了变形，使得所有使用的线段都是垂直或水平的，同时保持与包含对角线的图形相同的拓扑结构。

图13：拉直曲线，扭曲卐字。

最后，要将每个交叉转换成卐字符号，我们只需将它朝所需的方向扭转。直观上，该过程可以被视为如下。想象这些曲线是由躺在地上的绳子组成的。垂直和水平线段之间的交叉将平面分成四个区域。想象将一只手的四个手指放在地面上，这样一个手指在每个区域都接触到地面。现在向某个方向扭转或旋转手，比如顺时针方向，同时用手指拖动绳子，并将绳子限制在垂直和水平的线上。作为一个例子，考虑在安提阿邪恶之眼的几何镶嵌地毯上发现的卐字记号回文图案[15]，[29]。该过程在图13和14中示出，为了清楚起见，每条曲线分开，在底部，两条曲线一起示出。请注意，交点在旋转过程中保持固定，旋转操作可以无限期地进行，以获得从卐字记号中出现的越来越深的螺旋。请注意，每次卐字被扭曲时，可能需要重新缩放，以便所有相邻平行线对之间的间距保持不变。

图14：扭转交叉形成卐字图案。

描述的算法回答了有关这种设计的其他几个问题。因为我们可以自由地以顺时针或逆时针方向扭曲每个卐字，所以我们可以自由地选择任何这样的组合。作为一个例子，考虑在罗马曲线形图案设计的背景下，图6的sona图中的五个点的图案。图13(右下)显示了该图案的卐字字符曲线形版本，所有的卐字字符以顺时针方向打开。另一方面，图15显示了带有一个逆时针卍字符(左)和两个逆时针卍字符(右)的示例。据我们所知，在任何罗马马赛克考古遗址上都没有发现这些图案。因此，我们的算法也可以用来获得新的设计。

图15：左边有一个逆时针方向的卍字，右边有两个。

另一个问题是，要完成一个完整的卐字符号回文图案，需要多少个闭合曲线形曲线。首先请注意，图12中的四条曲线可以被视为sona或kolam图，其中一些区域不包含黑色的小方形面板。这些区域毗邻中央白色方形面板和四个白色矩形面板。另外，正如刚才指出的，任何sona绘图都可以通过扭曲交叉点转换为卍字符曲线形图案。此外，对于任何一组点，都有许多可能由一条曲线组成的sona图。因此，对于切德沃斯面板的排列，如果我们不要求最终的图纸包含所有32个卍字符，那么就存在大量可能的卍字符曲线形图案，只使用一条曲线。如果不使用反射板，并且整个区域是一个正方形或矩形，其边长有公因数，例如图12和图8中的情况，那么我们需要不止一条曲线，而如果边长没有公因数(即相对素数)，例如图9中的3 × 8面板，那么一条曲线就足够了。如果使用反射板，就像切德沃斯的设计一样，那么情况就更复杂了。如果对面板的放置没有限制，那么无论包含圆点的矩形的尺寸如何，总是可以用单一曲线构造sona曲线图案。这源于Chavey[4]的工作，他证明了几个关于绘制对称曲线图案的定理，这些定理依赖于所使用的反射板的对称布置。

6.结论

乍看之下，在英格兰切德沃斯的罗马别墅餐厅地板马赛克上发现的卐字记号回文图案，似乎是一个相当错综复杂的设计，为其罗马设计师的智慧和创造力赢得了赞誉。这里提供的这种图案的几何分析揭示了一种简单的算法，通过这种算法，罗马人可以很容易地构建出这种和其他这种看似复杂的图案。这种算法允许构建新的替代设计。此外，该算法可用于分类罗马回文图案，并在部分损坏的马赛克中重建它们。

参考文献

[1] G. Bain, Celtic Art: The Methods of Construction, Dover Publications, Inc., New York, 1973.

[2] S.-M. Belcastro and T. C. Hull, Classifying frieze patterns without using groups, The College Mathematics Journal. 33 (2002), pp. 93-98.

[3] P. Bethell, Chedworth Roman Villa, The National Trust, Warrington, U.K., 2006.

[4] D. Chavey, Constructing symmetric Chokwe sand drawings, Presented at the Symmetry Festival, July 31 to August 5, Budapest, Hungary, 2009. Paper available at http://cs.beloit.edu/chavey/

[5] A. H. Christie, Traditional Methods of Pattern Designing: An Introduction to the Study of Decorative Art, The Clarendon Press, Oxford, 1910.

[6] L. F. Day, Pattern Design, B. T. Batsford Ltd., London, 1903. Revised and enlarged by Amor Fenn in 1933. Dover, 1999.

[7] K. M. D. Dunbabin, Mosaics of the Greek and Roman World, Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 1999.

[8] A. Fenn, Abstract Design and How to Create It, T. Batsford Ltd., London, 1930. (With a new introduction by Richard M. Proctor in 1993.) Dover 1993.

[9] P. Gerdes, Reconstruction and extension of lost symmetries from the Tamil of South India, Computers and Mathematics with Applications, 17 (1989), pp. 791-813.

[10] P. Gerdes, Une tradition geometrique en Afrique: Les dessins sur le sable, Paris:

L"Harmattan, 1995.

[11] P. Gerdes, Geometry from Africa, Washington, MAA, 1999.

[12] P. Gerdes, Sona Geometry from Angola: Mathematics of an African Tradition , Polimetrica, Monza, Italy, 2006.

[13] W. H. Goodyear, The Grammar of the Lotus, Sampson Low, Marston & Co., London, 1891.

[14] P. Johnson, The mosaics of Roman Leicester, Mosaic. 3, 1980, pp. 1-10.

[15] C. Kondoleon, Domestic and Divine: Roman Mosaics in the House of Dionysos, Cornell University Press, Ithaca and London, 1995.

[16] Y. Liu, Visual art as research: Explorations with sona drawings, Leonardo, in press.

[17] Y. Liu and G. T. Toussaint, A simple algorithm for constructing perfect monolinear sona tree drawings, and its application to visual art education, Proceedings of the Conference on Artificial Intelligence, Knowledge Engineering and Data Bases, Cambridge University, U.K., Feb. 21-23, 2009, pp. 288-294.

[18] Y. Liu and G. T. Toussaint, A tessellation-transformation method for categorizing and generating geometric textile design patterns, Design Principles and Practices: An International Journal. 2 (2008), pp. 101-111.

[19] Y. Liu and G. T. Toussaint, A new method for classifying fret and meander patterns, Eighth Interdisciplinary Conference of the International Society of the Arts, Mathematics, and Architecture, University of Albany, New York, June 22-25, 2009, pp. 43-50.

[20] A. Meehan, Celtic Design: Knotwork – The Secret Methods of the Scribes, Thames & Hudson, Spain, 1991.

[21] D. Michaelides, The early Christian mosaics of Cyprus, The Biblical Archaeologist. 52 (1989), pp. 192-202.

[22] S. Nagata, Digitalization and analysis of traditional cycle patterns in the world, and their contemporary applications, Bulletin of the Society for Science on Form. 22 (2007), pp. 119-126.

[23] S. Nakamura, Pattern Sourcebook: Chinese Style, Rockport Publishers, Beverly, Mass., 2008.

[24] A. Phillips, The topology of roman mosaic mazes, Leonardo. 23 (1992), pp. 321-329.

[25] M. Schlatter, Permutations in the sand, Mathematics Magazine. 77, (2004), pp. 140- 145.

[26] R. H. Smith, Decorative designs in stone: the rediscovery of a technique of RomanByzantine craftsmen, The Biblical Archaeologist. 46 (1983), pp. 175-186.

[27] D. Sutton, Islamic Design: A Genius for Geometry, Walker & Co., New York, 2007.

[28] G. T. Toussaint, A new class of stuck unknots in pol-6, Contributions to Algebra and Geometry. 42 (2001), pp. 301-306.

[29] Y. Turnheim and A. Ovadiah, A new look at the geometric mosaic in the promontory palace at Caesaria Maritima, Studies in Art History. 4, Tel Aviv University, (1999), pp. 21-34.

[30] D. K. Washburn, Style, Classification and ethnicity: design categories on Bakuba raffia cloth, Transactions of the American Philosophical Society. 80 (1990), pp. 5-157.

[31] C. A. S. Williams, Chinese Symbolism and Art Motifs, Tuttle Publishing, Singapore, 2006.

[32] T. Wilson, Swastika: The Earliest Known Symbol and its Migrations, U.S. National Museum, 1894. Transcribed by Alfta Svani Lothursdottir, Northvegr and A. Odhinssen, 2003.

[33] H. J. Zakin, French cistercian grisaille glass, Gesta. 13 (1974), pp. 17-28.

[34] C. Zaslavsky, Africa Counts: Number and Pattern in African Cultures, Lawrence Hill Books, Third Edition, Chicago, 1999.

[35] Yang Liu, Godfried Toussaint, Unraveling Roman mosaic meander patterns: A simple algorithm for their generation

青山不改，绿水长流，在下告退。

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